Fonctions usuelles

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En mathématiques, les fonctions usuelles sont des fonctions fréquemment utilisées dont les propriétés sont bien connues.

Notations :

  • forme : \( f(x) \)
  • dérivée : \( f'(x) \)
  • primitive : \( F(x) \)
Nom Forme Domaine de définition Dérivée Primitive
Affine (ou linéaire) \( ax + b \) \( \mathbb{R} \) \( a \) \( \frac{a}{2}x^2 +bx \)
Carré \( x^2 \) \( \mathbb{R} \) \( 2x \) \( \frac{1}{3} x^3 \)
Cube \( x^3 \) \( \mathbb{R} \) \( 3x^2 \) \( \frac{1}{4} x^4 \)
Racine carrée \( \sqrt{x} \) ou \( x^{\frac{1}{2}} \) \( \mathbb{R_+} \) \( \frac{1}{2 \sqrt{x}} \) \( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \)
Inverse \( \frac{1}{x} \) \( \mathbb{R^*} \) \( - \frac{1}{x^2} \) \( \ln x \)
Logarithme népérien \( \ln x \) \( \mathbb{R^*_+} \) \( \frac{1}{x} \) \( x \ln x - x \)
Exponentielle de base \( e \) \( e^x \) ou \( \exp \left( x \right) \) \( \mathbb{R} \) \( e^x \) \( e^x \)
Exponentielle de base \( a \) \( a^x \) ou \( e^{x \ln a} \) \( \mathbb{R} \) \( \ln a e^{x \ln a} \) \( \frac{1}{\ln a} e^{x \ln a} \)
Puissance \( x^a \) ou \( e^{a \ln x} \) Voir ci-dessous

Fonctions puissance

Domaine de définition :

  • \( \mathbb{R} \) si \( a \in \mathbb{N} \)
  • \( \mathbb{R^*} \) si \( a \in \mathbb{Z_-} \)

Dérivée :

  • \( f' \left( x \right) = a x^{a-1} \) si \( a \in \mathbb{N} \)
  • \( f' \left( x \right) = - a x^{a-1} \) si \( a \in \mathbb{Z_-} \)

Primitive :

  • \( F \left( x \right) = \frac{1}{a+1} x^{a+1} \) si \( a \in \mathbb{N} \)
  • \( F \left( x \right) = \frac{1}{1 - a} x^{1 - a} \) si \( a \in \mathbb{Z_-} \)

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